Viene esposto un contenitore a forma di tetraedro.
Nel contenitore ci sono altri due solidi: i poliedri di AKOS e di LAJOS.
Questi solidi hanno curiose proprietà, che lasciamo agli "esperti"; ne adoperiamo solo qualcuna, pensando di... camminare su tali oggetti.

Il tetraedro

- un solido delimitato da 4 facce triangolari;
- i vertici dei triangoli (4 x 3 = 12 ) sono uniti a tre a tre e formano i suoi 4 vertici
- i lati dei triangoli (4 x 3 = 12) sono uniti a due a due e formano i suoi 6 spigoli

Tra i solidi più comuni (cubo,prismi,piramidi, ..), il tetraedro presenta alcune particolarità che ci interesseranno in seguito.

Il poliedro di AKOS
Ancora una premessa...

- la sua superficie è formata da 14 triangoli:
- i loro 14 x 3 = 42 vertici sono uniti a sei a sei formando i suoi 7 vertici
- i loro 14 x 3 = 42 lati sono uniti a due a due formando i suoi 21 spigoli

Questa costruzione somiglia ad uno strano campanile con una bizzarra galleria!
Che cosa c'è di interessante?
Per gli addetti ai lavori, tante cose !! Per noi, è interessante una proprietà: "ogni vertice è collegato a ciascuno degli altri mediante uno spigolo".
Tale proprietà è vera anche per il tetraedro, ma non per gli altri semplici solidi già ricordati (cubo, prismi,piramidi).

Un po' di fantasia!
Immaginiamo che su ogni vertice ci sia un polipo, con sei tentacoli liberi (con gli altri magari si tiene in equilibrio).
Allora ciascun polipo può salutare contemporaneamente gli altri sei polipi, stringendogli la "mano", senza fare un gran groviglio dei loro tentacoli.
Allorché la geometria è considerata anche come una forma d'arte, il poliedro di AKOS può essere interpretato come un simbolo di AMICIZIA.
Una realizzazione del poliedro di AKOS è stata a lungo esposta all'ingresso dell'università di Bonn; ora è conservata nel suo istituto di Matematica.

Un gioco
Sul poliedro di AKOS si può scegliere un percorso che va di vertice in vertice, (possiamo dire anche di spigolo in spigolo) percorrendo tutti gli spigoli, passando per ciascuno una sola volta, e tornando al punto di partenza.
Percorrendo tutti i 21 spigoli, ciascuno dei 7 vertici viene incontrato 21 / 7 = 3 volte. Di tali percorsi ce ne sono tanti; ne scegliamo uno.
Lo riproduciamo su un foglio di carta, pensando di camminarci sopra, perché solo a pensare di camminare sui bordi del poliedro (realizzato a grandi dimensioni)... ci vengono le vertigini!
Nel disegno, ogni vertice è rappresentato da un pallino con un suo specifico colore; mentre gli spigoli sono rappresentati da doppie linee con i colori dei vertici che esse uniscono. Tali linee hanno lunghezze proporzionali a quelle dei corrispondenti spigoli ed alcune sono interrotte da pallini bianchi formando una catena di molte caselle.
Possiamo fare un gioco, simile a quello dell'oca:
per esempio, ogni giocatore sceglie un vertice di partenza, e, ogni volta, prima di lanciare il dado, dichiara se andrà avanti o indietro del numero di caselle che sarà indicato dal dado; il percorso è chiuso e si possono fare più giri: vince chi arriva prima sul suo vertice di partenza o su uno dello stesso colore.

Il poliedro di LAJOS

La solita premessa:

- la sua superficie è formata da 7 facce piane a bordo esagonale
- i loro 6 x 7 = 42 vertici sono uniti a tre a tre formando i suoi 14 vertici
- i loro 6 x 7 = 42 lati sono uniti a due a due formando i suoi 21 spigoli.

Questa costruzione somiglia ad una strana capanna con una bizzarra galleria.
Osserviamo che "ogni faccia confina con ciascuna delle altre".
Tale proprietà è vera anche per il tetraedro, ma non per gli altri semplici solidi già ricordati (cubo, prismi,piramidi).
Ancora un po' di fantasia!
Le sette facce del poliedro siano campi con diverse colture. I loro sette coltivatori possono, ciascuno dal proprio campo, passare agli altri sei i propri prodotti.
Parlando di geometria, di arte, di immaginazione, il poliedro di LAJOS può essere considerato come un simbolo di COOPERAZIONE.

Un gioco
Come nel caso del poliedro di AKOS, anche per quello di LAJOS si può scegliere un percorso chiuso che, in questo caso, va di faccia in faccia, attraversando tutti gli spigoli, ciascuno una sola volta, e tornando poi al punto di partenza.
Attraversando tutti i 21 spigoli, ciascuna delle 7 facce viene percorsa 21 / 7 = 3 volte.
Coloriamo le facce con altrettanti colori.
Possiamo rappresentare tale percorso su un foglio, riproducendo il profilo di ogni faccia su un fondo del suo colore, così come fatto nella costruzione del modello.
Inventiamoci quindi un altro gioco, con altre regole.
Un suggerimento: anche in questo caso, nelle regole del gioco, inseriamo la possibilità di fare qualche scelta, come l'andare avanti o indietro nel gioco precedente: in tal modo, il gioco non è completamente affidato al caso, ma, un poco, anche a qualche semplice convenienza intravista dal giovane giocatore.


Due righe SOLO per chi si diletta di geometria...

Per quale motivo fare questo "monumento" al tetraedro insieme ai poliedri di AKOS e di LAJOS ?
Per i poliedri, intesi come solidi delimitati da facce piane a bordo poligonale, riesce spontaneo considerare i seguenti elementi:
facce, vertici, spigoli e... buchi o gallerie.
I poliedri di AKOS e LAJOS presentano ciascuno una galleria e somigliano a strane ciambelle sfaccettate.
I numeri di tali elementi sono vincolati dalla relazione di Eulero:

#facce + #vertici = #spigoli + 2 - 2 x #gallerie

Come si può verificare per esempio nei solidi considerati:
Tetraedro
4 facce | 4 vertici | 6 spigoli | 0 gallerie → 4 + 4 = 6 + 2 - 0
Poliedro di AKOS CSASZAR, ungherese, pubblicato nel 1949
14 facce | 7 vertici | 21 spigoli | 1 galleria → 14 + 7 = 21 + 2 - 2
Poliedro di LAJOS SZILASSI, ungherese, pubblicato nel 1977
7 facce | 14 vertici | 21 spigoli | 1 galleria → 7 + 14 = 21 + 2 - 2

Nella relazione di Eulero , i numeri di facce e vertici compaiono con la loro somma e se si scambiano l'uno con l'altro, non cambia il vincolo per il numero totale di spigoli e gallerie.
Questa osservazione non dimostra granché ma richiama un concetto di dualità che semplifichiamo così:
due poliedri sono reciprocamente duali se alcune proprietà dell'uno si trasformano in proprietà dell'altro scambiando la parola "vertici" con la parola "facce".
Nel poliedro di AKOS, e nel tetraedro: ogni coppia di vertici individua uno spigolo.
Nel poliedro di LAJOS, e nel tetraedro: ogni coppia di facce individua uno spigolo.

I poliedri di AKOS CSASZAR e di LAJOS SZILASSI sono duali uno dell'altro.
Il tetraedro è duale di se stesso.